【题目】已知 是函数 的导数, 有 , ,若 ,则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】构造函数 ,则 可等价转化为 ,又因为 ,所以当 时, ,函数 单调递减;当 时, ,函数 单调递增;所以函数 的图像开口向下,且关于直线 对称,则问题转化为 是否都在一个单调区间内的问题.若 ,则由函数的单调性可知 ,这与题设 矛盾,故 ,则 ,当 ,则 , 的解集是 ;当 时,则 ,则 可化为 ,其解集是 ;若 , ,函数 单调递增,则由 可得 不符假设.综上所求实数的取值范围是 或 ,即 .
所以答案是: .
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案.
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【题目】一批产品抽50件测试,其净重介于13克与19克之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,净重大于等于13克且小于14克;第二组,净重大于等于14克且小于15克;…第六组,净重大于等于18克且小于19克.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设净重小于17克的产品数占抽取数的百分比为x,净重大于等于15克且小于17克的产品数为y,则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为( )
A.0.9,35
B.0.9,45
C.0.1,35
D.0.1,45
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【题目】若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时,的取值范围恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做函数的等域区间.
(1)已知是上的正函数,求的等域区间;
(2)试探求是否存在,使得函数是上的正函数?若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知是数列的前n项和,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)对于正整数,已知成等差数列,求正整数的值;
(3)设数列前n项和是,且满足:对任意的正整数n,都有等式成立.求满足等式的所有正整数n.
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【题目】如图,一个角形海湾AOB,∠AOB=2θ(常数θ为锐角).拟用长度为l(l为常数)的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择:
方案一 如图1,围成扇形养殖区OPQ,其中=l;
方案二 如图2,围成三角形养殖区OCD,其中CD=l;
(1)求方案一中养殖区的面积S1 ;
(2)求证:方案二中养殖区的最大面积S2= ;
(3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由.
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【题目】已知的顶点坐标为,,, 点P的横坐标为14,且,点是边上一点,且.
(1)求实数的值及点、的坐标;
(2)若为线段(含端点)上的一个动点,试求的取值范围.
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【题目】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f′(x)+2f(x)= ,且f(1)= ,则不等式f(lnx)>f(3)的解集为( )
A.(﹣∞,e3)
B.(0,e3)
C.(1,e3)
D.(e3 , +∞)
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【题目】已知正方形的对角线与相交于点,将沿对角线折起,使得平面平面(如图),则下列命题中正确的是( )
A. 直线直线,且直线直线
B. 直线平面,且直线平面
C. 平面平面,且平面平面
D. 平面平面,且平面平面
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【题目】如图,已知三棱柱 ,侧面 .
(Ⅰ)若 分别是 的中点,求证: ;
(Ⅱ)若三棱柱 的各棱长均为2,侧棱 与底面 所成的角为 ,问在线段 上是否存在一点 ,使得平面 ?若存在,求 与 的比值,若不存在,说明理由.
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