【题目】如图,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分别为,AC,,的中点,AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.
【答案】(1)证明见解析
(2) B-CD-C1的余弦值为
(3)证明过程见解析
【解析】分析:(1)由等腰三角形性质得,由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得,因此,最后根据线面垂直判定定理得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系E-ABF,设立各点坐标,利用方程组解得平面BCD一个法向量,根据向量数量积求得两法向量夹角,再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果,(3)根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零,可得结论.
详解:解:(Ⅰ)在三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵CC1⊥平面ABC,
∴四边形A1ACC1为矩形.
又E,F分别为AC,A1C1的中点,
∴AC⊥EF.
∵AB=BC.
∴AC⊥BE,
∴AC⊥平面BEF.
(Ⅱ)由(I)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.
又CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.
∵BE平面ABC,∴EF⊥BE.
如图建立空间直角坐称系E-xyz.
由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).
∴,
设平面BCD的法向量为,
∴,∴,
令a=2,则b=-1,c=-4,
∴平面BCD的法向量,
又∵平面CDC1的法向量为,
∴.
由图可得二面角B-CD-C1为钝角,所以二面角B-CD-C1的余弦值为.
(Ⅲ)平面BCD的法向量为,∵G(0,2,1),F(0,0,2),
∴,∴,∴与不垂直,
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内,∴GF与平面BCD相交.
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【题目】某校对高二年段的男生进行体检,现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组,并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60,65)的人数为200.根据一般标准,高二男生体重超过65kg属于偏胖,低于55kg属于偏瘦.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求体重在[60,65)内的频率,并补全频率分布直方图;
(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查,则各组应分别抽取多少人?
(3)根据频率分布直方图,估计高二男生的体重的中位数与平均数.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l过点M(3,4),其倾斜角为45°,圆C的参数方程为 .再以原点为极点,以x正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A、B,求|MA||MB|的值.
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【题目】如图,在平面凸四边形中(凸四边形指没有角度数大于的四边形),.
(1)若,,求;
(2)已知,记四边形的面积为.
① 求的最大值;
② 若对于常数,不等式恒成立,求实数的取值范围.(直接写结果,不需要过程)
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】已知函数f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)满足f(0)=f(1),且方程x=f(x)有两个相等的实数根.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,3]时,求函数f(x)的值域.
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【题目】将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0, ]和[2a, ]上均单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[ , ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.[ , ]
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【题目】如图,正方体的棱长为1,为中点,连接,则异面直线和所成角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】
连接CD1,CM,由四边形A1BCD1为平行四边形得A1B∥CD1,即∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角,再由已知求△CD1M的三边长,由余弦定理求解即可.
如图,
连接,由,可得四边形为平行四边形,
则,∴为异面直线和所成角,
由正方体的棱长为1,为中点,
得,.
在中,由余弦定理可得,.
∴异面直线和所成角的余弦值为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法,异面直线所成的角常用方法有:将异面直线平移到同一平面中去,达到立体几何平面化的目的;或者建立坐标系,通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】在中,角所对的边分别是,是的中点,,,面积的最大值为_____.
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【题目】如图在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为,且圆C与y轴交于M,N两点(点N在点M的上方),直线与圆C交于A,B两点。
(1)若,求实数k的值。
(2)设直线AM,直线BN的斜率分别为,若存在常数使得恒成立?若存在,求出a的值.若不存在请说明理由。
(3)若直线AM与直线BN相较于点P,求证点P在一条定直线上。
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