Question

17．已知点A（-4，0）、P（t，0）（t＞0），在第一象限作正方形OPQR，过A、P、Q三点作⊙B，连接OQ，作CQ⊥OQ交圆于点C，连接OB、AQ．
（1）求证：∠CQP=∠AOQ；
（2）CQ的长度是否随着t的变化而变化？如果变化，请用含t的代数式表示CQ的长度，如果不变，求出CQ的长；
（3）当tan∠AQO=$\frac{1}{2}$时，
①求点C的坐标；
②点D是⊙B上的任意一点，求CD+$\sqrt{5}$OD的最小值．

Answer 1

分析 （1）证明：∠CQP=∠CQO+PQO=135°，∠AOQ=∠AOR+∠QOR=135°，可得∠CQP=∠AOQ；
（2）①求出圆的方程为（x+1）²+（y-1）²=10，直线CQ的方程为y=-x+4，联立求点C的坐标；
②点D是⊙B上的任意一点，延长OD，截取DE=OD，过点E作EF⊥OE，截取EF=OE，连接DF，则DF=$\sqrt{5}$OD，所以CD+$\sqrt{5}$OD=CD+DF≥CF（当C、D、F三点共线时，等号成立），分类讨论，即可求CD+$\sqrt{5}$OD的最小值．

解答 （1）证明：∠CQP=∠CQO+PQO=135°，∠AOQ=∠AOR+∠QOR=135°，
∴∠CQP=∠AOQ；
（2）解：由题意，过A、P、Q三点作⊙B，半径为$\frac{1}{2}$$\sqrt{{t}^{2}+（t+4）^{2}}$，
∵OQ=$\sqrt{2}$t，CQ⊥OQ，
∴CQ²=（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{t}^{2}+（t+4）^{2}}$）²-（$\sqrt{2}$t）²=-$\frac{3}{2}$t²+2t+4，
∴CQ=$\sqrt{-\frac{3}{2}{t}^{2}+2t+4}$；
（3）解：①当tan∠AQO=$\frac{1}{2}$时，tan∠QAP=tan（45°-∠AQO）=$\frac{1}{3}$=$\frac{t}{t+4}$，∴t=2，
∴圆的方程为（x+1）²+（y-1）²=10，直线CQ的方程为y=-x+4，
联立可得C（0，4）；
②延长OD，截取DE=OD，过点E作EF⊥OE，截取EF=OE，连接DF，则DF=$\sqrt{5}$OD，所以CD+$\sqrt{5}$OD=CD+DF≥CF（当C、D、F三点共线时，等号成立）
可分两类讨论：
（i）C、D重合时，O、C、E三点共线，此时，CF=DF=$\sqrt{5}$OD=4$\sqrt{5}$；
（ii）∠CDO=∠FDE时，有△COD≌△FED，所以CD=DF=$\sqrt{5}$DO=52 CO=2 5 所以CF=2CD=4 5也就是说，当D与C或P 重合时，CD+$\sqrt{5}$OD最短，为4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．