Question

在直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O,椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程.
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）(x+2)²+(y-2)²=8.   （2）存在，Q

(1)设圆C的圆心为A(p,q),
则圆C的方程为(x-p)²+(y-q)²=8.
因为直线y=x与圆C相切于坐标原点O,
所以O在圆C上,且直线OA垂直于直线y=x.
于是有⇒或
由于点A(p,q)在第二象限,故p<0.
所以圆C的方程为(x+2)²+(y-2)²=8.
(2)因为椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10,所以2a=10⇒a=5,故椭圆右焦点为F(4,0).
若圆C上存在异于原点的点Q(x₀,y₀)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长,则有|QF|=|OF|,于是(x₀-4)²+=4²,且+≠0.①
由于Q(x₀,y₀)在圆上,故有(x₀+2)²+(y₀-2)²=8.②
解①和②得
故圆C上存在满足条件的点Q.