Question

若关于x的不等式3x²+2ax+b≤0在区间[-1，0]上恒成立，则a²+b²-1的取值范围是（　　）

• A、[

  9

  4

  ，+∞）
• B、（-1，

  9

  4

  ]
• C、[

  4

  5

  ，+∞）
• D、（-1，

  4

  5

  ]

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：不等式

分析：根据已知条件，并可结合二次函数的图象可得到

-2a+b+3≤0 b≤0

，所以可画出该不等式所表示的平面区域，设z=a²+b²-1，所以结合图形求圆a²+b²=1+z的半径的范围即可．

解答： 解：设f（a）=3x²+2ax+b，根据已知条件知：

f(-1)=-2a+b+3≤0 f(0)=b≤0

；
该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，
设z=a²+b²-1，a²+b²=1+z；
∴该方程表示以原点为圆心，半径为

1+z

的圆；
原点到直线-2a+b+3=0的距离为

3

5

；
∴该圆的半径

1+z

≥

3

5

；
解得z≥

4

5

；
∴a²+b²-1的取值范围是[

4

5

，+∞)．
故选C．

点评：考查对二次函数图象的熟练掌握，能画出不等式组所表示的平面区域，直线的方程，圆的方程，以及数形结合及线性规划的知识解题的方法．