Question

16．使奇函数$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+θ）+cos（2x+θ）$在$[0，\frac{π}{4}]$上为增函数的θ值为（　　）

• A． $-\frac{π}{3}$
• B． $-\frac{π}{6}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简，求出使函数为奇函数的θ的集合，取k=0求出$θ=-\frac{π}{6}$，代入原函数验证在$[0，\frac{π}{4}]$上为增函数得答案．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+θ）+cos（2x+θ）$
=$2[\frac{\sqrt{3}}{2}sin（2x+θ）+\frac{1}{2}cos（2x+θ）]$
=$2sin（2x+θ+\frac{π}{6}）$．
∵函数f（x）为奇函数，
∴$θ+\frac{π}{6}=kπ$，则$θ=kπ-\frac{π}{6}，k∈Z$，
取k=0，得$θ=-\frac{π}{6}$，
此时f（x）=2sin2x，满足在$[0，\frac{π}{4}]$上为增函数．
故选：B．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数奇偶性的性质，训练了函数单调性的求法，是中档题．