Question

如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁（f（x₁）-f（x₂））＞x₂（f（x₁）-f（x₂）），则称函数f（x）为“H函数”．下列函数是“H函数”的是（　　）

• A、y=x²
• B、y=-e^x+1
• C、y=2x-sinx
• D、y=lg|x|

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁（f（x₁）-f（x₂））＞x₂（f（x₁）-f（x₂））恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
对于A：函数y=x²在定义域上不单调．不满足条件．
对于B：y=-e^x+1为减函数，不满足条件．
对于C：y=2x-sinx，y′=2-cosx＞0，函数单调递增，满足条件．
对于D：y=lg|x|在定义域上不单调，不满足条件，
故选：C．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．