Question

15．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F满足$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=3$\overrightarrow{E{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=3$\overrightarrow{F{D}_{1}}$，则BE与DF所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{8}{17}$
• B． $\frac{9}{17}$
• C． $\frac{12}{17}$
• D． $\frac{15}{17}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与DF所成角的正弦值．

解答 解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为4，
∵点E，F满足$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=3$\overrightarrow{E{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=3$\overrightarrow{F{D}_{1}}$，
∴B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F（0，1，4），
$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，4），$\overrightarrow{DF}$=（0，1，4），
设异面直线BE与DF所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{DF}|}$=$\frac{15}{\sqrt{17}•\sqrt{17}}$=$\frac{15}{17}$．
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{15}{17}）^{2}}$=$\frac{8}{17}$，
∴BE与DF所成角的正弦值为$\frac{8}{17}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．