Question

Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=2，如图1，将△ABC置于坐标系中，使BC边落在y 轴正半轴上，点B位于原点处，点A位于第一象限．将顶点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上向右、向下滑动，当点C与原点重合时停止滑动．
（Ⅰ）①如图2，若AC=2，B点右滑的距离OB是1，求C点下滑的距离和AC所在的直线解析式；②如图2，点C继续滑动多远时，C点下滑距离CN与B点右滑距离BM相等；
（Ⅱ）如图3，在滑动的过程中BC的中点P也随之移动，求整个过程中P点移动路径的长度；
（Ⅲ）若AC=

3

4

，求滑动的过程中A到原点O的最大距离以及此时点A的坐标．

Answer 1

分析：（1）①Rt△OBC中，利用勾股定理算出OC=

BC2-OB2

=

3

，可得C点下滑的距离为2-

3

．利用三角函数的定义算出∠CBO=∠ACy=60°，得到AC的倾斜角为30°，所以AC的斜率为

3

3

，进而可得AC所在直线的解析式；
②根据△OBC与△ONM全等，算出ON=OB=1，从而得出CN=

3

-1，所以继续滑动的距离为

3

-1时，可使CN=BM；
（2）根据直角三角形的性质得OP=

1

2

BC=1，从而得到点P在以O为圆心、半径r=1的圆上运动，由此可得P点的移动路径是圆心角为直角的圆弧，利用弧长公式即可算出移动路径的长度；
（3）利用勾股定理算出AP=

5

4

，结合OP=

1

2

BC=1，可得当O、P、A三点共线时，点A到原点的距离距离为OP+PA=

9

4

达到最大值．然后根据相似三角形的判定与性质算出OH=3AH，在Rt△OHA中利用勾股定理算出AH、OH的长，进而可得点A的坐标．

解答：解：（1）①如图2，Rt△OBC中，BC=2，OB=1，
根据勾股定理，得OC=

BC2-OB2

=

3

，
∴C点下滑的距离d=2-

3

，
又∵Rt△OBC中，tan∠CBO=

OC

OB

=

3

，
∴∠CBO=∠ACy=60°，
可得直线AC的倾斜角为90°-60°=30°，AC的斜率为k=tan30°=

3

3

．
∵直线AC经过点C（0，

3

）
∴AC所在的直线解析式为：y=

3

3

x+

3

；
②当C点下滑距离CN与B点右滑距离BM相等时，△OBC≌△ONM，
此时∠CBO=∠MNO=60°，可得ON=OB=1，
∴CN=CO-ON=

3

-1，
即继续滑动

3

-1时，可使C点下滑距离CN与B点右滑距离BM相等；　　　　　　　　　　
（2）连接OP，则Rt△OBC中，OP是斜边BC上的中线，
∴OP=

1

2

BC=1，可得点P在以O为圆心、半径r=1的圆上运动．
由此可得：P点的移动路径是以O为圆心、圆心角等于90°的弧，
其长度为L=

90πr

180

=

π

2

；
（3）∵Rt△ACP中，AC=

3

4

，PC=

1

2

BC=1，
∴AP=

AC2+PC2

=

( 3 4 )2+12

=

5

4

；
又∵OP=

1

2

BC=1，OP、AP都是定长
∴当O、P、A三点共线时，A到原点O的距离最大．最大距离为OP+PA=1+

5

4

=

9

4

，
过A作AH⊥y轴，与BC的延长线交于点D，
∵AD∥OB，∴△POB∽△PAD，结合PB=OP得PD=AP=

5

4

由此可得DC=PD-CP=

5

4

-1=

1

4

，
又∵Rt△ACD∽Rt△OHA，AC=

3

4

，
∴

AH

OH

=

DC

AC

=

1

3

，
∵OA=

9

4

，∴OH=3AH，
又∵Rt△OHA中，OA=

OH2+AH2

=

9

4

，
∴AH=

9

40

10

，OH=

27

40

10

，可得点A的坐标（

9

40

10

，

27

40

10

）．

点评：本题给出直角三角形在坐标系内滑动的模型，求滑动的过程中A到原点O的最大距离以及此时点A的坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式、勾股定理与相似三角形、弧长公式与动点轨迹的求法等知识，属于中档题．