Question

17．已知关于x的方程ax²+bx+c=0，其中2a+3b+6c=0．
（1）当a=0，且b≠0时，求方程的根；
（2）当a＞0，c＜0时，求证：方程有一根在（0，1）内．

Answer 1

分析 （1）当a=0，且b≠0时，可得c=-$\frac{b}{2}$，方程即bx-$\frac{b}{2}$=0，由此求得x的值．
（2）由题意可得f（0）=c＜0，故只需证f（1）=a+b+c＞0．再根据f（1）=a+b+c，它与3a+3b+3c同号．把3b=-2a-6c代入3a+3b+3c求得它等于a-3c＞0，故有f（1）=a+b+c＞0，根据函数零点的判定定理，得出结论．

解答 解：（1）当a=0，且b≠0时，关于x的方程ax²+bx+c=0，其中2a+3b+6c=0，
可得c=-$\frac{b}{2}$，方程即bx-$\frac{b}{2}$=0，求得x=$\frac{1}{2}$．
（2）当a＞0，c＜0时，设f（x）=ax²+bx+c，∵f（0）=c＜0，故只需证f（1）=a+b+c＞0．
再根据f（1）=a+b+c，它与3a+3b+3c同号．
由2a+3b+6c=0，可得3b=-2a-6c，故有3a+3c-2a-6c=a-3c＞0，故有f（1）=a+b+c＞0，
可得f（0）f（1）＜0，根据函数零点的判定定理，f（x）必有一个根在（0，1）内，
即方程ax²+bx+c=0必有一根在（0，1）内．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．