Question

如图，已知直线x+ky-1=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
i．求证：点M恒在椭圆C上；
ii．求△AMN面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用已知条件直接推出，a、c、b的关系，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
i．设A（x₀，y₀）、M（x₁，y₁），则B（x₀，-y₀），且

x02

4

+

y02

3

=1，N（4，0）．当x₀=1时，当x₀≠1时，分别利用直线AF，与直线BN，求出交点，交点坐标是否满足椭圆分即可，证明点M恒在椭圆C上；
ii．联立直线与椭圆方程，表示出△AMN面积，通过函数的单调性求出三角形的面积最大值．

解答： （Ⅰ）解：由题F（1，0），c=1，a+c=3，∴a=2
则椭圆C为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）ⅰ．证明：设A（x₀，y₀）、M（x₁，y₁），则B（x₀，-y₀），
且

x02

4

+

y02

3

=1，N（4，0）．当x₀=1时，则M与B重合，结论成立．x1=

5x0-8

2x0-5

当x₀≠1时，直线AF：y=

y0

x0-1

(x-1)，直线BN：y=

-y0

x0-4

(x-4)．
解方程组

y= y0 x0-1 (x-1) y= -y0 x0-4 (x-4)

得

x1= 5x0-8 2x0-5 y1= 3y0 2x0-5

∴

x12

4

+

y12

3

=

1

4

•(

5x0-8

2x0-5

)2+

1

3

(

3y0

2x0-5

)2=

1

4

•(

5x0-8

2x0-5

)2+

3×3(1- x02 4 )

(2x0-5)2

=1
则点M在椭圆C

x2

4

+

y2

3

=1上，
综上知，点M恒在C上．
ⅱ．解：联立

x+ky-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，消元得：（3k²+4）y²-6ky-9=0
由ⅰ，y0+y1=

6k

3k2+4

，y0y1=

-9

3k2+4

S△AMN=

1

2

|FN|•|y0-y1|=

3

2

(y0+y1)2-4y0y1

=

3

2

( 6k 3k2+4 )2+ 36 3k2+4

=18

k2+1 9k4+24k2+16

=

18

9k4+24k2+16 k2+1

=

18

9(k2+1)+ 1 k2+1 +6

令m=k²+1（m≥1），f(m)=9m+

1

m

  (m≥1)．则f（m）在[1，+∞）为增函数．
∴f（m）≥f（1）=10．
∴S△AMN≤

9

2

，当且仅当m=k²+1=1．
即k=0时S_△AMN取最大值

9

2

．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查恒成立问题以及三角形的面积的最值的求法，考查转化思想以及逻辑推理能力．