【题目】如图,四棱锥中,底面ABCD为矩形,点E在线段PA上,平面BDE.
求证:;
若是等边三角形,,平面平面ABCD,四棱锥的体积为,求点E到平面PCD的距离.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)连结AC、BD,交于点M,连结ME则M是AC中点,由PC∥平面BDE,得PC∥ME,由此能证明AE=PE.
(2)以AD中点O为原点,OA为x轴,在平面ABCD中,过点O作AB的平行线为y轴,以OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出E到平面PCD的距离.
连结AC、BD,交于点M,连结ME,
底面ABCD为矩形,是AC中点,
平面BDE,,在中,ME为的中位线,
又M为中点,E为中点
.
是等边三角形,,平面平面ABCD,
以AD中点O为原点,OA为x轴,在平面ABCD中,过点O作AB的平行线为y轴,
以OP为z轴,建立空间直角坐标系,
设,四棱锥的体积为,
,解得.
0,,0,,0,,0,,6,.
0,,6,,0,,
设平面PCD的法向量y,,
则,取,得0,,
到平面PCD的距离.
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【题目】如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
(1)求证:BC⊥面CDE;
(2)在线段AE上是否存在一点R,使得面BDR⊥面DCB,若存在,求出点R的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的。在出租车几何学中,点还是形如的有序实数对,直线还是满足的所有组成的图形,角度大小的定义也和原来一样,直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”:,请解决以下问题:
(1)求线段上一点到点的“距离”;
(2)定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形,求“圆”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程,并求该“圆”围成的图形的面积;
(3)若点到点的“距离”和点到点的“距离”相等,其中实数满足,求所有满足条件的点的轨迹的长之和.
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【题目】设(,N(为不同的两点,直线l:,=,下列命题正确中正确命题的序号是_______
(1)若,则直线l与线段MN相交;
(2)若=-1,则直线l经过线段MN的中点;
(3)存在,使点M在直线l上;
(4)存在,使过M、N的直线与直线l重合.
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【题目】随着手机的普及,大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间,某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过小时的名大学生,将人使用手机的时间分成组:,,,,分别加以统计,得到下表,根据数据完成下列问题:
使用时间/时 | |||||
大学生/人 |
(1)完成频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图估计大学生使用手机的平均时间.
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