Question

定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0，则下述式子中正确的是（　　）

• A、f(-

  3

  4

  )≥f(a2-a+1)
• B、f(-

  3

  4

  )≤f(a2-a+1)
• C、f(-

  3

  4

  )=f(a2-a+1)
• D、以上关系均不确定

Answer 1

分析：由“x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0”可等有“x₂＞x₁时，f（x₂）＞f（x₁）”，符合增函数的定义，所以f（x）在（-∞，0]为增函数，再由f（x）为偶函数，则知f（x）在（0，+∞]为减函数，利用配方法对式子a²-a+1进行变形得出最小值，再判断函数值的大小，可得结论．

解答：解：x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0
∴x₂＞x₁时，f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0]为增函数
∵f（x）为偶函数
∴f（x）在（0，+∞]为减函数
∵a²-a+1=(a-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，
∴f（a²-a+1）≤f（

3

4

）=f（-

3

4

）
故选A．

点评：本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇偶性在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同．