Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA₁上一点，且AC₁⊥EG. (12分)

（Ⅰ）确定点G的位置；

（Ⅱ）求直线AC₁与平面EFG所成角θ的大小.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），

设G（0，2，h），则

∴－1×0+1×（－2）+2h=0.  ∴h=1，即G是AA₁的中点.  ……………………6分

（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则

所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）…………………8分

∵

∴， 即AC₁与平面EFG所成角为  ………………………12分

解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC

∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.

又CC₁⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC₁⊥ED.

∵CC₁∩AC=C，∴ED⊥平面A₁ACC₁.

又∵AC₁⊥EG，∴AC₁⊥DG.

连结A₁C，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C//DG.

∵D是AC的中点，∴G是AA_­1的中点. …………………6分

（Ⅱ）取CC₁的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，

∴E、F、M、G共面.作C₁H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB₁C₁C，

C₁H平面BB₁C₁C，∴AC⊥G₁H，又AC//GM，∴GM⊥C₁H. ∵GM∩FM=M，

∴C₁H⊥平面EFG，设AC₁与MG相交于N点，所以∠C₁NH为直线AC₁与平面EFG所成角θ.

因为 …………………12分