Question

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为不同的两点，直线l：ax+by+c=0，δ=

ax1+by1+c

ax2+by2+c

，以下命题中正确的序号为

 

．
（1）不论δ为何值，点N都不在直线l上；
（2）若δ=1，则过M，N的直线与直线l平行；
（3）若δ=-1，则直线l经过MN的中点；
（4）若δ＞1，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交．

Answer 1

分析：依次分析命题：（1）根据δ中的分母不为0，即可判断点N不在直线l上；（2）δ=1时，分b不等于0和等于0两种情况考虑，当b不为0时，根据δ=1，化简后得到直线MN的斜率与直线l的斜率相等，且点N不在直线l上，进而得到两直线平行；当b为0时，根据δ=1推出直线l与直线MN的斜率都不存在，进而得到两直线平行；（3）当δ=-1时，化简后得到线段MN的中点满足直线l的解析式，进而得到MN的中点在直线l上；（4）根据δ大于1，得到ax₁+by₁+c与ax₂+by₂+c同号且|ax₁+by₁+c|大于|ax₂+by₂+c|，进而得到点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交，综合可得答案．

解答：解：（1）因为δ=

ax1+by1+c

ax2+by2+c

中，ax₂+by₂+c≠0，所以点N（x₂，y₂）不在直线l上，本选项正确；

（2）当b≠0时，根据δ=1，得到

ax1+by1+c

ax2+by2+c

=1，化简得：

y2-y1

x2-x1

=-

a

b

，即直线MN的斜率为-

a

b

，
又直线l的斜率为-

a

b

，由（1）知点N不在直线l上，得到直线MN与直线l平行；
当b=0时，根据δ=1，得到

ax1+by1+c

ax2+by2+c

=1，
化简得：x₁=x₂，直线MN与直线l的斜率不存在，都与y轴平行，
由（1）知点N不在直线l上，得到直线MN与直线l平行，
综上，当δ=1，直线MN与直线l平行，本选项正确；

（3）当δ=-1时，得到

ax1+by1+c

ax2+by2+c

=-1，
化简得：a•

x1+x2

2

+b•

y1+y2

2

+c=0，而线段MN的中点坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
所以直线l经过MN的中点，本选项正确；

（4）当δ＞1时，得到

ax1+by1+c

ax2+by2+c

＞1，
即（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）＞0，所以点M、N在直线l的同侧，
且|ax₁+by₁+c|＞|ax₂+by₂+c|，得到点M与点N到直线l的距离不等，所以延长线与直线l相交，
本选项正确．
所以命题中正确的序号为：（1）、（2）、（3）、（4）．
故答案为：（1）、（2）、（3）、（4）

点评：此题考查学生掌握一点是否在已知直线上的判别方法，掌握两直线平行时满足的条件，是一道中档题．