Question

已知A={2，4，a³-2a²-a+7}，B={-4，a+3，a²-2a+2，a³+a²+3a+7}，且A∩B={2，5}．（1）求实数a的值；（2）求A∪B．

Answer 1

解：（1）由题意，知a³-2a²-a+7=5，
解得a=-1，1，2．
当a=-1时，A={2，4，5}，B={-4，2，4，5}，此时A∩B={2，4，5} 与已知A∩B={2，5}矛盾；
当a=1时 B={-4，1，4，12}，A∩B={4} 与已知A∩B={2，5}矛盾；
当a=2时，符合题意，故a=2．
（2）此时A∪B={2，4，5}∪{-4，2，5，25}={-4，2，4，5，25}．
分析：由已知，根据集合的交集的概念，得出a³-2a²-a+7=5，解出a，再代入验证是否符合要求：应满足元素的互异性，满足A∩B={2，5}．
点评：在处理集合运算时，对于能化简的集合要先进行化简．如果集合中含有字母，要注意对字母进行讨论，如何选择正确的分类标准是关键．求出待定系数的值后，要进行检验．其中，集合中元素的互异性是检验的一个依据．