Question

17．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，且向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$互相垂直．
（Ⅰ）若向量$\overrightarrow{c}$=3k$\overrightarrow{a}$+4k$\overrightarrow{b}$（k∈R），且|$\overrightarrow{c}$|=12$\sqrt{2}$，求|k|的值；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）$⊥（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）$，求|$\overrightarrow{c}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐标系设出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$坐标，用|$\overrightarrow{c}$|=12$\sqrt{2}$，求出|k|的值；
（Ⅱ）利用向量垂直数量积为0，得到$\overrightarrow{c}$的坐标关系式，利用其几何意义求最值．

解答 解：据题意：建立坐标系．不妨设$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow{b}$=（0，3），------（2分）
（Ⅰ） 向量$\overrightarrow{c}$=3k$\overrightarrow{a}$+4k$\overrightarrow{b}$=（12k，12k）
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（12k）^{2}+（12k）^{2}}$=12$\sqrt{2}$，------（4分）
解得|k|=1-----（6分）
（Ⅱ） 设$\overrightarrow{c}$=（x，y），则 由（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）$⊥（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）$，得到（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）$•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）$=（4-x）x-（y-3）y=0，------（8分）
即（x-2）²+（y-1.5）²=6.25．------（10分）
由此可以判定，向量$\overrightarrow{c}$的起点在原点，终点在以（2，1.5）为圆心，半径为2.5的圆上，注意到原点也在此圆上，
所以，|$\overrightarrow{c}$|的取值范围[0，5]．------（12分）

点评 本题考查了平面向量的坐标运算、模的计算以及向量垂直的性质运用，用到了几何意义求模的范围；属于中档题．