Question

2．已知{a_n}为等差数列，且a_n≠0，公差d≠0．
（Ⅰ）证明：$\frac{{C}_{2}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{2}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{2{d}^{2}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$
（Ⅱ）根据下面几个等式：$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{d}{{a}_{1}{a}_{2}}$；$\frac{{C}_{2}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{2}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{2{d}^{2}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$；$\frac{{C}_{3}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{3}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{a}_{3}}$-$\frac{{C}_{3}^{3}}{{a}_{4}}$=$\frac{6{d}^{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}}$

；$\frac{{C}_{4}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{4}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{a}_{3}}$-$\frac{{C}_{4}^{3}}{{a}_{4}}$+$\frac{{C}_{4}^{4}}{{a}_{5}}$=$\frac{24{d}^{4}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}{a}_{5}}$，…
试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的和排列组合公式计算即可证明，
（Ⅱ）猜想结论：$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{n+1}{C}_{n-1}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）！{d}^{n-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$，并数学归纳法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）左边=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$=$\frac{{{a}_{2}（a}_{2}+d）}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{2（{a}_{2}-d）（{a}_{2}+d）}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}（{a}_{2}-d）}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2{d}^{2}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$=右边，
故等式成立
（Ⅱ）结论：$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{n+1}{C}_{n-1}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）！{d}^{n-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$
证：①当n=2，3，4时，等式成立，
②假设当n=k时，$\frac{{C}_{K-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k}}$=$\frac{（k-1）！{d}^{k-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}$成立，
那么当n=k+1时，因为${C}_{k}^{k-1}={C}_{k-1}^{k-1}+{C}_{k-1}^{k-2}$，所以$\frac{{C}_{k}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+2}{C}_{k}^{k}}{{a}_{k+1}}$
=$\frac{{C}_{k-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}+{C}_{k-1}^{0}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}+{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}（{C}_{k-1}^{k-1}+{C}_{k-1}^{k-2}）}{{a}_{k}}$+$\frac{（-1）^{k+2}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k+1}}$
=（$\frac{{C}_{K-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k}}$）-（$\frac{{C}_{k-1}^{0}}{{a}_{2}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{3}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k+1}}$）
=$\frac{（k-1）！{d}^{k-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}$-$\frac{（k-1）!{d}^{k-1}}{{a}_{2}{a}_{3}…{a}_{k+1}}$=$\frac{（k-1）!{d}^{k-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k+1}}$（a_k+1-a₁）=$\frac{k!{d}^{k}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k+1}}$
所以，当n=k+1时，结论也成立．
综合①②知，$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{n+1}{C}_{n-1}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）！{d}^{n-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$对n≥2都成立

点评 本题考查数学归纳法，考查了排列组合的问题，着重考查归纳与推理证明的能力，属于中档题．