已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，P为椭圆
上任意一点，且
的最小值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）动圆
与椭圆相交于A、B、C、D四点，当
为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.
（1）
；（2）当
时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为
.
解析试题分析：（1）由于
（定值）这个条件并结合余弦定理以及的最小值为这个条件可以求出
的值，并由已知条件中
的值可以求出
，并最终求出椭圆的方程；（2）先设出
、
、、
中其中一个点的坐标
，然后根据这四点之间的相互对称性将四边形
的面积
用该点的坐标进行表示，结合
这一条件将面积转化为其中一个变量的二次函数，利用二次函数的求最值的思想求出四边形面积的最大值，并可以求出对应的值.
试题解析：（1）因为P是椭圆上一点，所以.
在△
中，
，由余弦定理得
.
因为
，当且仅当
时等号成立.
因为
，所以
.
因为的最小值为，所以
，解得
.
又
，所以
.所以椭圆C的方程为.
（2）设
，则矩形ABCD的面积
.
因为，所以
.
所以
.
因为
且
，所以当
时，
取得最大值24.
此时
，
.
所以当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
考点：椭圆的定义、余弦定理、二次函数
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
知椭圆
的离心率为
，定点
，椭圆短轴的端点是
，且
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设过点
且斜率不为0的直线交椭圆于
两点.试问
轴上是否存在异于的定点
，使
平分
？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设椭圆
的左焦点为
，离心率为
，过点且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1) 求椭圆方程.
(2) 过点
的直线
与椭圆交于不同的两点
，当
面积最大时，求
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，F1，F2是离心率为
的椭圆C：
(a＞b＞0)的左、右焦点，直线
：x＝－
将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求
的取值范围．
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已知椭圆C: 
(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆
上.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A, B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
为椭圆
的左，右焦点，
为椭圆上的动点，且
的最大值为1，最小值为-2.
（I）求椭圆
的方程；
（II）过点
作不与
轴垂直的直线
交该椭圆于
两点，
为椭圆的左顶点。试判断
的大小是否为定值，并说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的右焦点为
，离心率为
．
分别过
，
的两条弦
，
相交于点
（异于
，
两点），且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线
，
的斜率之和为定值．
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：
的长轴长为4，且过点
．
、
、
是椭圆上的三点，若
，点
为线段
的中点，
、
两点的坐标分别为
、
，求证：
．