Question

19．已知△ABC的三内角A，B，C，的对边分别为a，b，c且b²=ac．
（1）若cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（2）若b=2，△ABC的面积等于$\sqrt{3}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）利用b²=ac及正弦定理可得sin²B=sinAsinC，再结合cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，将所求关系式中的切化弦即可求得其值；
（2）由b=2，可得ac=4，利用三角形面积公式可求sinB，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理解得a²+c²=8，结合平方和公式即可得解a+c的值．

解答 解：（Ⅰ）由b²=ac，利用正弦定理可得：sin²B=sinAsinC----（2分）
又cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（0＜B＜π）-----------------------------（3分）
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$---------------------------------------（4分）
=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$-------------------------------------（5分）
=$\frac{1}{sinB}$=$\sqrt{3}$．------------------------------------------（6分）
（2）∵b=2，可得：b²=ac=4，
∴△ABC的面积$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4$×sinB，解得：sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵b²=ac，可得B为锐角，解得cosB=$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，可得：4=a²+c²-4，即a²+c²=8，
∴（a+c）²-2ac=（a+c）²-8=8，即（a+c）²=16，解得：a+c=4．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，着重考查正弦定理与余弦定理及平方和公式的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．