Question

14．已知数列{a_n}中，已知a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$，
（1）求证数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列；  
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件转化求解数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列；
（2）利用（1）求出通项公式，然后求解数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）数列{a_n}中，已知a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$，
可得a_n+1+2a_n+1a_n=a_n，
可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2．
所以数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴数列{a_n}的通项公式：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查计算能力．