【题目】已知函数f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2 , g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=( )
A.16
B.﹣16
C.﹣16a2﹣2a﹣16
D.16a2+2a﹣16
【答案】B
【解析】解:令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2(a+2)x+a2﹣[﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2(x﹣a)2﹣8.
①由2(x﹣a)2﹣8=0,解得x=a±2,此时f(x)=g(x);
②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a﹣2,此时f(x)>g(x);
③由h(x)<0,解得a﹣2<x<a+2,此时f(x)<g(x).
综上可知:
(1)当x≤a﹣2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x﹣(a+2)]2﹣4a﹣4,
H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=﹣[x﹣(a﹣2)]2﹣4a+12,
(2)当a﹣2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);
(3)当x≥a+2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),
故A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)]2﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12,
∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16.
故选:B.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的值域(求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的).
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【题目】下列命题中错误的是( )
A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;
B. 若两个平面平行,则分别位于这两个平面的直线也互相平行;
C. 平行于同一个平面的两个平面平行;
D. 若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;
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【题目】如图所示,在三棱锥P﹣ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.
(1)求证:AB∥GH;
(2)求二面角D﹣GH﹣E的余弦值.
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【题目】(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆 相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线 与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,CC1的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
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【题目】 已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y﹣3=0垂直.
(1)求实数a、b的值
(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.
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