Question

设椭圆M：＝1(a>)的右焦点为F1，直线l：x＝与x轴交于点A，若＝2 (其中O为坐标原点)．

(1)求椭圆M的方程；

(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求·的最大值．

 

Answer 1

（1）＝1（2）11

【解析】(1)由题设知，A，F1，

由＝2，得＝2，

解得a2＝6.所以椭圆M的方程为M：＝1.

(2)设圆N：x2＋(y－1)2＝1的圆心为N，

则·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝2－2＝2－1.

从而求·的最大值转化为求2的最大值．

因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)，

所以＝1，

即＝6－3，因为点N (0,2)，

所以2＝＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.

因为y0∈[－，]，所以当y0＝－1时，2取得最大值12.所以·的最大值为11.