Question

（2012•江西）已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|

MA

+

MB

|=

MA

•(

OA

+

OB

)+2
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是（0，-1），l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．

Answer 1

分析：（1）先求出

MA

、

MA

+

MB

的坐标，由此求得|

MA

+

MB

|和

MA

•(

OA

+

OB

)+2的值，由题意可得

(-2x)2+(2-2y)2

=4-2y，化简可得所求．
（2）根据直线PA，PB的方程以及曲线C在点Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）处的切线方程，求出F点的坐标，D、E两点的横坐标，可得S_△PDE和S_△QAB的值，从而求得△QAB与△PDE的面积之比．

解答：解：（1）由

MA

=（-2-x，1-y），

MB

=（2-x，1-y）可得

MA

+

MB

=（-2x，2-2y），
∴|

MA

+

MB

|=

(-2x)2+(2-2y)2

，

MA

•(

OA

+

OB

)+2=（-2-x，1-y）•（0，2）+2=4-2y．
由题意可得

(-2x)2+(2-2y)2

=4-2y，化简可得 x² +2y-3=0．
（2）直线PA，PB的方程分别为 y=-x-1、y=x-1，
曲线C在点Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）处的切线方程为y=

x0

2

x-

x02

4

，
且与y轴的交点F（0，-

x02

4

）．
由

y=-x-1 y= x0 2 x- x02 4

求得x_D=

x0-2

2

，由

y=x-1 y= x0 2 x- x02 4

求得x_E=

x0+2

2

．
故x_E-x_D=2，故|FP|=1-

x02

4

．
故S_△PDE=

1

2

|PF|•|x_E-x_D|=

1

2

（1-

x02

4

）•2=

4-x02

4

，
而S_△QAB=

1

2

×4×（1-

x02

4

）=

4-x02

2

，
∴

S△QAB

S△PDE

=2，即△QAB与△PDE的面积之比等于2．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程的应用，利用导数求曲线上某点的切线方程，求得F点的坐标，D、E两点的横坐标，是解题的关键，属于中档题．