Question

已知函数f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

，若对于任意实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是

-

1

2

≤k≤4

．

Answer 1

分析：因对任意实数x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，则f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由k-1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（x₁）+f（x₂）的最小值与f（x₃）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．

解答：解：因对任意实数x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
f（x）=

4x+2x+1+(k-1)2x

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2^x+

1

2x

+1≥3，则y=1+

k-1

t

（t≥3），
当k-1＞0，即k＞1时，该函数在[3，+∞）上单调递减，则y∈（1，

k+2

3

]，
当k-1=0，即k=1时，y∈{1}，
当k-1＜0，即k＜1时，该函数在[3，+∞）上单调递增，y∈[

k+2

3

，1），
当k＞1时，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，故

k+2

3

≤2，∴1＜k≤4；
当k=1时，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，∵

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，故

2k+4

3

≥1，∴-

1

2

≤k＜1；
综上所述：-

1

2

≤k≤4．
故答案为：-

1

2

≤k≤4

点评：本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．