精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知由正数组成的数列{an},它的前n项和为Sn
(Ⅰ)若数列{an}满足:an+1=qan(q≠0),试判断数列{Sn}是等比数列还是等差数列?并说明理由.
(Ⅱ)若数列{an}满足:a1=
1
2
,且Sn
1
an
的等比中项为n(n∈N*),求
lim
n→∞
Sn
分析:(I)由已知
an+1
an
=q≠0
可 得{an}为等比数列,
若Sn是等比数列,则S22=S1S3,若Sn是等差数列,则2S2=S1+S3通过解方程可求 q,从而进行判断
(II)由已知得n2=Sn
1
an
从而可得Sn=n2an3,Sn-1=(n-1)2an-1
两式相减整理可得,
an
an-1
=
n-1
n+1
,得an=
1
n(n+1)
,利用裂项求和,再进行求解极限即可.
解答:解:(I)由
an+1
an
=q≠0
 得{an}为等比数列,假设Sn是等比数列,则S22=S1S3,整理得q=0与q≠0矛盾,
所以Sn不是等比数列;
假设Sn是等差数列,则2S2=S1+S3整理得q=1或q=0(舍)所以q=1时,Sn是等差数列,q≠1,Sn不是等差数列;
(II)由条件得n2=Sn
1
an
,即Sn=n2an3,Sn-1=(n-1)2an-1
相减得an(n2-1)=(n-1)2an-1(n≥2),
an
an-1
=
n-1
n+1
an=
1
n(n+1)

所以Sn=n2an=
n2
n2+n
lim
n→∞
Sn
=1.
点评:本题主要考查了等差、等比数列的应用,裂项求和及数列的极限的求解,属于基础知识的综合运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知由正数组成的数列{an}满足a1=1,a2=2,an2=an-1an+1(n≥2),则对数log4a100的值为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011届四川省绵阳中学高三上学期入学考试理科数学卷 题型:解答题

(本小题共12分)已知由正数组成的数列{an}的前n项和为Sn=
①求S1S2S3
②猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明你的结论;
③求

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年四川省高三上学期入学考试理科数学卷 题型:解答题

(本小题共12分)已知由正数组成的数列{an}的前n项和为Sn=

①求S1S2S3

②猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明你的结论;

③求

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年河北省唐山一中高考数学仿真试卷4(文科)(解析版) 题型:选择题

已知由正数组成的数列{an}满足a1=1,a2=2,an2=an-1an+1(n≥2),则对数的值为( )
A.100
B.99
C.50
D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案