【题目】(本题满分12分)已知
(1)求函数的单调区间;
(2)设,若存在使得成立,求的取值范围。
【答案】(1) 当,在单调递增区间为;时,的递增区间为,递减区间为;(2) [0,+∞).
【解析】试题分析:(1)含参讨论研究函数的单调性;(2)存在使得成立,即求函数的最大值大于等于零即可,也可以变量分离求最值.
试题解析:
(1) 函数的定义域为
若,恒成立,在上单调递增。
若,令,解得,
令,解得
综上,当,在单调递增区间为;
时,的递增区间为,递减区间为。
(2)当b=1时,f(x)=ln x-x+a+1(x>0).
原题即为存在x使得ln x-x+a+1≥0,
∴a≥-ln x+x-1,
令g(x)=-ln x+x-1,
则g′(x)=-+1=.令g′(x)=0,解得x=1.
∵当0<x<1时,g′(x)<0,∴g(x)为减函数,
当x>1时,g′(x)>0,∴g(x)为增函数,
∴g(x)min=g(1)=0.
∴a≥g(1)=0.∴a的取值范围为[0,+∞).
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【题目】如图所示,为了保护环境,实现城市绿化,某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD处规划一块长方形地面HPGC,建造住宅小区公园,但不能越过文物保护区三角形AEF的边线EF.已知AB=CD=200 m,BC=AD=160 m,AF=40 m,AE=60 m,问如何设计才能使公园占地面积最大,求出最大面积.
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【题目】已知椭圆E的右焦点与抛物线的焦点重合,点M在椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设,直线与椭圆E交于A,B两点,若直线PA,PB关于x轴对称,求的值.
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【题目】已知函数, ,记
。
(1) 判断的奇偶性(不用证明)并写出的单调区间;
(2)若对于一切恒成立,求实数的取值范围.
(3)对任意,都存在,使得, .若,求实数的值;
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【题目】微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下抢到的红包个数进行统计,得到如下数据:
手机品牌 型号 | I | II | III | IV | V |
甲品牌(个) | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
乙品牌(乙) | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
手机品牌 红包个数 | 优 | 非优 | 合计 |
甲品牌(个) | |||
乙品牌(个) | |||
合计 |
(1)如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”,否则为“非优”,请完成上述2×2列联表,据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关?
(2)如果不考虑其他因素,要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售.
①求在型号I被选中的条件下,型号II也被选中的概率;
②以表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数,求随机变量的分布列及数学期望.
下面临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式: ,其中.
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【题目】国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在 人或 人以下,每人需交费用为 元;若旅行团人数多于 人,则给予优惠:每多 人,人均费用减少 元,直到达到规定人数 人为止.旅行社需支付各种费用共计 元.
Ⅰ 写出每人需交费用 关于人数 的函数;
Ⅱ 旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
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【题目】如图,四边形为梯形, , 平面, , , , 为中点.
(1)求证:平面平面;
(2)线段上是否存在一点,使平面?若有,请找出具体位置,并进行证明:若无,请分析说明理由.
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【题目】已知一次函数f(x)为增函数,且f(f(x))=4x+9,g(x)=mx+m+3(m∈R).
(1)当x∈[-1,2]时,若不等式g(x)>0恒成立,求m的取值范围;
(2)如果函数F(x)=f(x)g(x)为偶函数,求m的值;
(3)当函数f(x)和g(x)满足f(g(x))=g(f(x))时,求函数的值域.
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