Question

已知函数y=

2

•32x-1的图象恒过定点P，若幂函数f（x）=x^a的图象也过点P．
（1）求实数a的值；
（2）试用单调性定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．

Answer 1

分析：（1）先由幂函数f（x）=x^a的图象经过点P（

1

2

，

2

），求出a；
（2）先在定义域上取值，再作差、变形，变形彻底后根据式子的特点，讨论判断符号、下结论．

解答：解：（1）由已知P（

1

2

，

2

），
∴f（

1

2

）=

2

，
∴（

1

2

）^a=

2

，
∴a=-

1

2

，
（2）f（x）=x -

1

2

设0＜x₁＜x₂，则有
f（x₁）-f（x₂）=x₁ -

1

2

-x₂ -

1

2

=

x2 - x1

x1x2

=

x2-x1

x1x2 ( x1 + x2 )

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，

x1x2

(

x1

+

x2

)＞0，
所以f（x₁）-f（x）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．

点评：本题主要考查了利用待定系数求解幂函数的函数解析式，考查了函数单调性的证明方法：定义法，关键是变形一定彻底，直到能明显的判断出符号为止．属于基础试题．