Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

 

（1）求证AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B-AC-E的大小；

（3）求点D到平面ACE的距离.

Answer 1

解法一：(1)∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE.

∵二面角D-AB-E为直二面角、且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE.∴CB⊥AE.∴AE⊥平面BCE.

(2)连结BD交AC于G,连结FG,

∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=.

∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,

∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.

由(1)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,

∴在等腰直角三角形中、BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=

∴二面角B-AC-E等于arcsin

(3)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,

∵二面角D-AB-E为直二面角,

∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,

∵V_D—ACE=V_E—ACD,∴S_△ACE·h=S_△ACD·EO.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.

∴

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：(1)同解法一.

(2)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴、建立空间直角坐标系O-xyz,如图.

∵AE⊥平面BCE、BE面BCE,∴AE⊥BE.在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点.

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),=(1,1,0),=(0,2,2).

设平面AEC的一个法向量n=(x,y,z),则

令x=1,得n=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为m=(1、0、0),

∴cos〈m、n〉=

∴二面角B-AC-E的大小为arccos.

(3)∵AD∥z轴,AD=2,∴=(0,0,2),

∴点D到平面ACE的距离d=||·|cos〈,n〉|=