Question

2．已知a_n=3ⁿ，b_n=3n，n∈N^*，对于每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入b_k个3得到一个数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，则所有满足T_m=3c_m+1的正整数m的值为3．

Answer 1

分析 由题意确定数列{c_n}的项，然后分类求解满足T_m=3c_m+1的正整数m的值．

解答 解：a_n=3ⁿ，b_n=3n，
由题意知，c₁=a₁=3，c₂=c₃=c₄=3，c₅=a₂=9，c₆=c₇=c₈=c₉=c₁₀=c₁₁=3，c₁₂=a₃=27，…，
则当m=1时，T₁=3≠3c₂=9，不合题意；
当m=2时，T₂=6≠3c₃=9，不合题意；
当m=3时，T₃=9=3c₄=9，适合题意．
当m≥4时，若c_m+1=3，则T_m≥12≠3c_m+1，不适合题意，
从而c_m+1必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，
则T_m=a₁+3+3+3+a₂+3+3+3+3+3+3+a₃+3+…+3+a₄+3+…+a₅+3+…+a₆+…+a_k-1+3+…+a_k，
=（3+3²+3³+…+3^k）+9[1+2+…+（k-1）]
=$\frac{3（1-{3}^{k}）}{1-3}+9•\frac{（1+k-1）（k-1）}{2}$=$\frac{{3}^{k+1}-3+9{k}^{2}-9k}{2}$，
又3c_m+1=3a_k+1=3×3^k+1，
∴$\frac{{3}^{k+1}-3+9{k}^{2}-9k}{2}$=3×3^k+1，即5×3^k=3k²-3k-1，
上式显然无解．
即当m≥4时，T_m≠3c_m+1，
综上知，满足题意的正整数m的值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查等差、等比数列的前n项和公式，考查数列的分组求和，同时考查逻辑推理能力，关键是对题意的理解，属有一定难度题目．