【题目】已知椭圆: 的左焦点为, 为坐标原点,点在椭圆上,过点的直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求弦的中点的轨迹方程;
(3)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点, 为轴上一点,若是菱形的两条邻边,求点横坐标的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】试题分析:(1)已知椭圆: 的左焦点为,有,点在椭圆上,得,联立求出即得方程(2)设, ,则,当时, 点的坐标为. 当时,∵, ,点差法两式相减得,
∴,又过点,于是的斜率为,∴整理即可
(3)设, 的中点,由(2)知, ①
∵,∴.∴,即,整理得②将②代入①中,得,化为,
∵,∴,由得的范围,从而得m的范围.
试题解析:
(1)由题意有,且,解得,
∴椭圆的方程为.
(2)设, ,则,
当时, 点的坐标为.
当时,∵, ,
两式相减得,
∴,又过点,于是的斜率为,
∴,
整理得.
∵也满足上式,
∴的轨迹方程为.
(3)设, 的中点,由(2)知, ①
∵,
∴.
∴,即,整理得②
将②代入①中,得,化为,
∵,∴ ,
由(当时, 与轴垂直,不合题意,舍去),得,
于是,即点的横坐标的取值范围为.
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【题目】如图,点A是以线段BC为直径的圆O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,点G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.
(1)求证:BF=EF;
(2)求证:PA是圆O的切线.
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【题目】设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集, 中必有4个元素的和等于,称正整数为集合的一个“相关数”.
(Ⅰ)当时,判断5和6是否为集合的“相关数”,说明理由;
(Ⅱ)若为集合的“相关数”,证明: ;
(Ⅲ)给定正整数.求集合的“相关数” 的最小值.
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【题目】为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与,每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.
上图中,已知课程为人文类课程,课程为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向,结合上面图表,采取分层抽样方法从全校抽取的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).
(Ⅰ)在“组M”中,选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?
(Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动,从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往,其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动,费用为每人1500元,选择课程G的同学参加,费用为每人2000元.
(ⅰ)设随机变量表示选出的4名同学中选择课程的人数,求随机变量的分布列;
(ⅱ)设随机变量表示选出的4名同学参加科学营的费用总和,求随机变量的期望.
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【题目】已知函数f(x)=x+ +b,其中a,b是常数且a>0.
(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0, ]上是单调递减函数;
(2)已知函数f(x)在区间[ ,+∞)上是单调递增函数,且在区间[1,2]上f(x)的最大值为5,最小值为3,求a的值.
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【题目】已知函数f(x)= (x≠0).
(1)证明函数f(x)为奇函数;
(2)判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性,并说明理由;
(3)若x∈[﹣2,﹣3],求函数的最大值和最小值.
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【题目】(文科选做)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是_____。
(理科选做)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+α)(A>0,ω>0,﹣ <α< )的最小正周期是π,且当x= 时,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式,并作出f(x)在[0,π]上的图象(要列表);
(2)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.
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【题目】若关于x的不等式(a2﹣a)4x﹣2x﹣1<0在区间(﹣∞,1]上恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣2, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣ , )
D.(﹣∞,6]
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