【题目】已知函数f(x)=(x﹣2)ex﹣ x2 , 其中a∈R,e为自然对数的底数
(Ⅰ)函数f(x)的图象能否与x轴相切?若能与x轴相切,求实数a的值;否则,请说明理由;
(Ⅱ)若函数y=f(x)+2x在R上单调递增,求实数a能取到的最大整数值.
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=(x﹣2)ex﹣ x2,
∴f′(x)=(x﹣1)ex﹣ax,
假设函数f(x)的图象与x轴相切于点(t,0),
则有: ,即 ,
由②知at=(t﹣1)et,代入①中,得(t﹣2)et﹣ =0,
∵et>0,∴(t﹣2)﹣ =0,即t2﹣3t+4=0,
∵△=9﹣16=﹣7<0,
∴方程t2﹣3t+4=0无解,
∴无论a取何值,函数f(x)的图象都不与x轴相切.
(Ⅱ)记g(x)=(x﹣2)ex﹣ +2≥0在R上恒成立,由g′(1)=﹣a+2≥0,得g′(x)≥0的必要条件是a≤2,
若a=2,则g′(x)=(x﹣1)ex﹣2x+2=(x﹣1)(ex﹣2),当ln2<x<1时,g′(x)<0,故a<2.
下面证明:当a=1时,不等式(x﹣1)ex﹣x+2≥0恒成立.
令h(x)=(x﹣1)ex﹣x+2,则h′(x)=xex﹣1,记H(x)=xex﹣1,则H′(x)=(x+1)ex,
当x>﹣1时,H′(x)>0,H(x)单调递增且H(x)>﹣ ,当x<﹣1时,H′(x)<0,H(x)单调递减,且﹣ H(x)<0,
∵H( )= ﹣1<0,H(1)=e﹣1>0,∴存在唯一的 ,使得H(x0)=0,且当x∈(﹣∞,x0)时,H(x)>0,
h(x)单调递减,
当x∈(x0,+∞)时,H(x)<0,h(x)单调递增,
∴h(x)min=h(x0)=(x0﹣1) ﹣x0+2,∵H(x0)=0,∴ ,
∴h(x0)=(x0﹣1) =3﹣( ),∵ ,∴2< < ,∴h(x)min=h(x0)>0,
∴(x﹣1)ex﹣x﹣2≥0恒成立,
∴a能取得的最大整数为1.
【解析】1、由题意可得f′(x)=(x﹣1)ex﹣ax,假设函数f(x)的图象与x轴相切于点(t,0)则有,无论a取何值,函数f(x)的图象都不与x轴相切.
2、由g′(1)=﹣a+2≥0,得g′(x)≥0的必要条件是a≤2,若a=2,则g′(x)=(x﹣1)ex﹣2x+2=(x﹣1)(ex﹣2),当ln2<x<1时,g′(x)<0,故a<2.当a=1时,不等式(x﹣1)ex﹣x+2≥0恒成立,由题意得证h(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,H(x)<0,h(x)单调递增,∴h(x)min=h(x0)=(x0﹣1) e x0﹣x0+2,∵H(x0)=0,∴(x﹣1)ex﹣x﹣2≥0恒成立,∴a能取得的最大整数为1.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试,学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查,先将800人按001,002,…,800进行编号.
(1)如果从第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检查的3个人的编号;(下面摘取了第7行到第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
人数 | 数学 | |||
优秀 | 良好 | 及格 | ||
地理 | 优秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | a | 4 | b |
成绩分为优秀、良好、及格三个等级;横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的人数共有20+18+4=42.
①若在该样本中,数学成绩优秀率是30%,求a,b的值;
②在地理成绩及格的学生中,已知a≥11,b≥7,求数学成绩优秀人数比及格人数少的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出关于双曲线的三个命题:
①双曲线 ﹣ =1的渐近线方程是y=± x;
②若点(2,3)在焦距为4的双曲线 ﹣ =1上,则此双曲线的离心率e=2;
③若点F,B分别是双曲线 ﹣ =1的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点P是圆F1:(x﹣1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线分别与PF1 , PF2交于M,N两点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点 的动直线l与点M的轨迹C交于A,B两点,在y轴上是否存在定点Q,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场),每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局双方各得1分.比赛结束后发现没有足球队全胜,且四队得分各不相同,则所有比赛中最多可能出现的平局场数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上,且对角线AC,BD均过坐标原点O,点D(2,1),AC,BD的斜率之积为 .
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过D作直线l平行于AC.若直线l′平行于BD,且与椭圆E交于不同的两点M.N,与直线l交于点P.
⑴证明:直线l与椭圆E有且只有一个公共点;
⑵证明:存在常数λ,使得|PD|2=λ|PM||PN|,并求出λ的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点( , ).
(1)若函数g(x)=f(x)﹣(a﹣1)x(a>0),求g(x)最大值(用a表示);
(2)若a=﹣4,f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2,证明:x1+x2≥ .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若图,在三棱柱 中,平面 平面 ,且 和 均为正三角形.
(1)在 上找一点 ,使得 平面 ,并说明理由.
(2)若 的面积为 ,求四棱锥 的体积.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com