如图,给出四棱锥P-ABCD的直观图及其三视图
(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;
(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD
(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.
解析解:(1)由图可知四棱锥P-ABCD中有
①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)
②PA⊥面ABCD,
③PA=AD=CD=2, AB=1 5分
⑵ 由(1)知PA⊥面ABCD ∴PA⊥CD
又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD
而PA,AD面PAD中, ∴CD⊥面PAD
CD面PCD
∴面PAD⊥面PCD 9分
⑶取PD中点F,连结EF;则EF
在,PA=AD,PAAD
∴AF⊥PD且
又由(2)知面PAD⊥面PCD
∴AF⊥面PCD
∴∠AEF为AE与面PCD所成的角 12分
在△AEF中, ∠AFE=900,,EF=1
∴
即AE与面PCD所成角的余弦值为 14分
(3)由E为PC中点 ∴E
由(2)知面PCD的一个法向量为
设AE与面PCD所成角为
即AE与面PCD所成角的余弦值为
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题12分)
如图1所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=。(1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上;
(2)求这个平行六面体的体积。
图1
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题共13分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=
∠BAD=90°,为AB中点,F为PC中点.
(I)求证:PE⊥BC;
(II)求二面角C—PE—A的余弦值;
(III)若四棱锥P—ABCD的体积为4,求AF的长.
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