Question

【题目】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）两相邻的零点之间的距离为 ，将f（x）的图象向左平移 个单位后图象对应的函数g（x）是偶函数． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的对称轴及单调递增区间．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f （x）两相邻的零点之间的距离为 ， ∴ = ，即 = ，故ω=2
∴g（x）=sin[2（x+ ）+φ]=sin（2x+ +φ）
∵g （x）是偶函数，且0＜φ＜π，
∴ +φ= ，∴φ=
∴f（x）=sin（2x+ ）
（Ⅱ）对称轴为x= +
由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 得：kπ﹣ ≤x≤kπ+
∴函数的单调递增区间是[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
【解析】（Ⅰ）利用f （x）两相邻的零点之间的距离为 ，求出ω，将f（x）的图象向左平移 个单位后图象对应的函数g（x）是偶函数，求出φ，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）利用正弦函数的性质，即可求函数f（x）的对称轴及单调递增区间．