Question

已知圆O的半径为定长r，A是圆所在平面内一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当P在圆上运动时，点Q的轨迹可能是下列图形中的：________．（填写所有可能图形的序号）
①点；②直线；③圆；④抛物线；⑤椭圆；⑥双曲线；⑦双曲线的一支．

Answer 1

①③⑤⑦
分析：由题意可得，点A可能在圆的外部，可能在圆的内部（但不和点O重合）、可能和点O重合、也可能在圆上，在这四种情况下，分别求出点Q的轨迹方程，即可得到答案．
解答：（1）当点A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点，
线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，
则QA=QP，则QA-Q0=QP-QO=OP=r．
即动点Q到两定点A、O的距离差为定值r＜OA，
根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线的一支．
故⑦满足条件．
（2）当A为⊙O内一定点，且A不与点O重合，∵P为⊙O上一动点，
线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，
QA=QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r＞OA，故Q的轨迹是：以O，A为焦点，r为长轴的椭圆，
故⑤满足条件．
（3）当点A和原点O重合时，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，
点Q是线段OP的中点，故有OQ==，
故Q的轨迹是：以O为圆心，以为半径的圆，故③满足条件．
（4）当点A在圆上时，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则Q和点O重合，
故Q的轨迹是点O，为一个点，故①满足条件．
故答案为①③⑤⑦．
点评：本题主要考查圆、椭圆、双曲线的定义，轨迹方程的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．