Question

数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，n∈N．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥

a

；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1；
（Ⅲ）若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求

lim

n→∞

x_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x₁=a＞0，及x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，知x_n＞0．从而有x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)≥

xn• a xn

=

a

（n∈N），所以，当n≥2时，x_n≥

a

成立．
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，由x_n≥

a

＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，用作差法知当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
证法二：当n≥2时，由x_n≥

a

＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，用作商法知当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
（Ⅲ）记

lim

n→∞

x_n=A，则

lim

n→∞

x_n+1=A，且A＞0．由x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，得A=

1

2

(A+

a

A

)．由此能导出

lim

n→∞

x_n的值．

解答：证明：（Ⅰ）由x₁=a＞0，及x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，
可归纳证明x_n＞0．
从而有x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)≥

xn• a xn

=

a

（n∈N），
所以，当n≥2时，x_n≥

a

成立．
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，
因为x_n≥

a

＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)
所以x_n+1-x_n=

1

2

(xn+

a

xn

)-xn=

1

2

•

a- x 2 n

xn

≤0，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
证法二：当n≥2时，因为x_n≥

a

＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，
所以

xn+1

xn

=

1 2 (xn+ a xn )

xn

=

x 2 n +a

2 x 2 n

≤

x 2 n + x 2 n

2 x 2 n

=1，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
（Ⅲ）解：记

lim

n→∞

x_n=A，则

lim

n→∞

x_n+1=A，且A＞0．
由x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，得A=

1

2

(A+

a

A

)．
由A＞0，解得A=

a

，故

lim

n→∞

x_n=

a

．

点评：本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力．