Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=BB1=1，B1C=2．

（1）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（2）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC；

∴B1B⊥AC；

又AB⊥AC，B1B∩BA=B；

∴AC⊥平面ABB1A1，AC平面B1AC；

∴平面B1AC⊥平面ABB1A1；

（2）解：如图，连接A1B交AB1于M，连接CM；

∵AB=BB1；

∴A1B1=AA1；

∴A1M⊥AB1；

∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A；

∴A1M⊥平面B1AC；

∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角；

∵AB=BB1=1，B1C=2；

∴BC= ，AC= ；

∴ ；

∴ ；

∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）根据直三棱柱的定义便可得到AC⊥B1B，再根据条件AC⊥AB便可得出AC⊥平面ABB1A1 ， 从而由面面垂直的判定定理即可得出平面B1AC⊥平面ABB1A1；（2）可连接A1B，设交AB1于M，可得到A1M⊥AB1 ， 从而由面面垂直的性质定理得到A1M⊥平面B1AC，这样∠A1CM便是直线A1C与平面B1AC所成的角，根据条件便可求出A1M和A1C的长，由 即可得出直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．