Question

已知函数f（x）=

1

3

ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，，且a＞0，d＞0．设x₀为f（x）的极小值点，在[1-

2b

a

，0]上，f′（x）在x₁处取得最大值，在x₂处取得最小值，将点（x₀，f（x₀）），（x₁，f′（x₁）），（x₂，f′（x₂，f（x₂））依次记为A，B，C．
（I）求x₀的值；
（II）若△ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a，d的值．

Answer 1

分析：（I）先对函数f（x）进行求导，把2b=a+c代入整理．令f‘（x）=0得x=-1或x=-

c

a

，故可根据-

c

a

＜x＜-1和x＞-1时f‘（x）于0的关系，判断函数f（x）的单调性，进而求出函数f（x）的最小值时x的值．
（2）先求出导函数的对称轴，根据对称轴的范围确定导函数的最大值和最小值及取得最值时的x的值，从而确定A，B，C的坐标，再由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴，得到a与d的关系，再由三角形ABC的面积为2+

3

和b=a+d，c=a+2d得到d的方程，最后求出a，d的值．

解答：解：（I）解：∵2b=a+c
∴f'（x）=ax²+2bx+x=ax²+（a+c）x+c=（x+1）（ax+c）
令f'（x）=0，得x=-1或x=-

c

a

∵a＞0，d＞0
∴0＜a＜b＜c
∴

c

a

＞1，-

c

a

＜-1
当-

c

a

＜x＜-1时，f‘（x）＜0，
当x＞-1时，时，f‘（x）＞0，
所以f（x）在x=-1处取得最小值即x₀=-1
（II）∵f'（x）=ax²+2bx+x（a＞0）
∴函数f'（x）的图象的开口向上，对称轴方程为x=-

b

a

由-

b

a

＞1知|（1-

2b

a

）-（-

b

a

）|＜|0-（-

b

a

）|
∴f'（x）在[1-

2b

a

，0]上的最大值为f'（0）=c，即x₁=0．
又由

b

a

＞1，知-

b

a

∈[1-

2b

a

，0]
∴当x=-

b

a

时，
f‘（x）取得最小值为f‘（-

b

a

）=-

d2

a

，即x₂=-

b

a

∵f（x₀）=f（-1）=-

a

3

∴A（-1，-

a

3

），B（0，c），C（-

b

a

，-

d2

a

）
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴，
所以-

a

3

=-

d2

a

，即a²=3d①
又由三角形ABC的面积为2+

3

得

1

2

（-1+

b

a

）•（c+

a

3

）=2+

3

利用b=a+d，c=a+2d，得

2

3

d+

d2

a

=2+

3

②
联立①②可得d=3，a=3

3

．

点评：本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数基础知识的综合应用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力