Question

已知a＞0，b＞0，c＞0且a，b，c不全相等．求证：

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c．

Answer 1

分析：本小题可用分析法、综合法或作差比较法证明，注意条件a，b，c不全相等的使用．
1、分析法就是证明，使不等式成立的充分条件成立，要证

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c，
只要证

(bc)2+(ac)2+(ab)2

abc

＞a+b+c，只要证（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c），
左边使用均值不等式，可证出大于右边．
2、综合法，不等式左边变形后直接使用均值不等式．
3、作差比较法，作差--变形--判断符号．

解答：证明：方法一：（分析法）要证

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c，
只要证

(bc)2+(ac)2+(ab)2

abc

＞a+b+c．
∵a，b，c＞0，
只要证（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c），
由公式知（bc）²+（ac）²≥2abc²，
（ac）²+（ab）²≥2a²bc，（bc）²+（ab）²≥2ab²c．
∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一个等号不成立，三式相加得：
2[（bc）²+（ac）²+（ab）²]＞2abc²+2a²bc+2ab²c，
即（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c）成立．
∴

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c成立．
方法二：（综合法）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴

bc

a

+

ac

b

≥2

bc a • ac b

=2c，

bc

a

+

ab

c

≥2

bc a • ab c

=2b，

ac

b

+

ab

c

≥2

ac a • ab c

=2a，
又∵a，b，c不全相等，∴上面三式不能全取等号，
三式相加得

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c．
方法三：（作差比较法）

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

-a-b-c
=

b2c2+a2c2+a2b2-a2bc-b2ac-c2ab

abc

=

1

2

•

(bc-ac)2+(ab-bc)2+(ac-ab)2

abc

＞0（a，b，c不全相等），
即

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

-a-b-c＞0，
∴

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c．

点评：通过用分析法、综合法或作差比较法证明不等式，体会几种方法间的区别与联系．