Question

 （2005年湖南理科高考题14分）

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^＊，且x₁>0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．

   （1）求x_n＋1与x_n的关系式；

   （2）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

   （3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n>0，n∈N^＊，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

   （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁， n∈N*，从而由（*）式得

    因为x₁>0，所以a>b.

    猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.

   （Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N*

    由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知

    0<x_n<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.

    而x₁∈(0, 2)，所以    由此猜测b的最大允许值是1.

    下证 当x₁∈(0, 2) ，b=1时，都有x_n∈(0, 2), n∈N*

①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0, 2),

则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,

所以x_k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1．