Question

8．设F为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $1+\sqrt{3}$
• C． $2+\sqrt{3}$
• D． $4+2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设双曲线的左焦点为F₁，连接F₁P，F₁Q，由对称性可知，F₁PFQ为矩形，即可求出该双曲线的离心率．

解答 解：∵|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，∴∠PFQ=90°，
设双曲线的左焦点为F₁，连接F₁P，F₁Q，
由对称性可知，F₁PFQ为矩形，且$|{F_1}F|=2|QF|，|Q{F_1}|=\sqrt{3}|QF|$，
故$e=\frac{2c}{2a}=\frac{{|{F_1}F|}}{{|Q{F_1}|-|QF|}}=\frac{2}{{\sqrt{3}-1}}=\sqrt{3}+1$．
故选B．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．