Question

修建一储粮仓库,形状如图所示,底部为圆柱形,顶部为半球 形, 仓库侧面的每平方米造价是底面每平方米造价的4倍,顶部的每平方米造价是底面每平方米造价的5.5倍, 已知仓库底面的每平方米造价为15元,若修建仓库的总费用为9万元, 问仓库底面半径为多少米时,仓库的容积最大, 最大容积是多少(π取3计算)?

Answer 1

解:设仓库底部圆柱的底面半径为R,高为h,根据题意,得

15(πR²+4×2πRh+5.5×2πR²)=90000 ,

∴   15(3R²+4×2×3×Rh+5.5×2×3×R²)=90000 ,

3R²+2Rh=500.

仓库的容积V=πR²h+πR³=3R²h+2R³=-R³+3×250R.

求导,得V′=-R²+3×250.

令V′=0,解得,R=10.

当0<R<10时, V′>0,函数V=-R³+3×250R单调递增,当R>10时,

V′<0, 函数V=-R³+3×250R单调递减,故当R=10时,V有最大值,且V的最大值为5000.

答:当仓库的底面半径为10米时,仓库的容积最大,最大容积为5000米³