Question

【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB= AC = AA1=2，M，N分别是A1B1，BC的中点．

（1）证明：MN∥平面ACC1A1；

（2）求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）设AC的中点为D，连接DN，A1D，只要证明A1D∥MN，即可证明MN∥平面ACC1A1；（2）作出二面角M﹣AN﹣B的平面角，通过解三角形可求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．

详解：

（1）证明：设AC的中点为D，连接DN，A1D

∵D，N分别是AC，BC的中点，∴

又∵，

∴，∴四边形A1DNM是平行四边形

∴A1D∥MN

∵A1D平面ACC1A1，MN平面ACC1A1

∴MN∥平面ACC1A1

（2）如图，设AB的中点为H，连接MH，

∴MH∥BB1

∵BB1⊥底面ABC，∴MH⊥底面ABC

在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G

连接MG，∵AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H

∴AN⊥平面MHG，则AN⊥MG

∴∠MGH是二面角M﹣AN﹣B的平面角

∵MH=BB1=2，

由AB=AC，∠BAN=45°，得HG=，所以

所以cos∠MGH=∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是