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已知数列
⑴求证:为等差数列;
⑵求的前n项和
⑶若,求数列中的最大值.
⑴见解析;⑵Sn= (n-1)·2n+1+2;⑶最大值为b1=0.5.

试题分析:⑴利用等差数列的定义,研究为定值;
⑵由⑴进一步得,利用“错位相减法”求和.
根据Sn=1·21+2·22+3·23+ +(n-1)·2n-1+n·2n
2Sn=1·22+2·23+3·23+ +(n-1)·2n+n·2n+1
两式相减得:-Sn=21+22+23+ +2n-n·2n+1 =
⑶由 
研究,得到推出{bn}为递减数列
数列{bn}中的最大值为b1.
试题解析:⑴∵

为等差数列,首项为,公差d=1           (4分)
⑵由⑴得   ∴                 (6分)
∴Sn=1·21+2·22+3·23+ +(n-1)·2n-1+n·2n
2Sn=1·22+2·23+3·23+ +(n-1)·2n+n·2n+1
两式相减得:-Sn=21+22+23+ +2n-n·2n+1
=
∴Sn=2-2n+1+n·2n+1=(n-1)·2n+1+2        (10分)
 
  ∴(12分)
又∵2(2n2+n-1)-(2n2+n)=2n2+n-2
当n≥1时,2n2+n-2>0  ∴2(2n2+n-1)>2n2+n>0
即bn+1<bn
∴{bn}为递减数列                                    (14分)
数列{bn}中的最大值为b1=0.5 
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