Question

已知数列
⑴求证：为等差数列；
⑵求的前n项和；
⑶若，求数列中的最大值.

Answer 1

⑴见解析；⑵S_n= (n－1)·2ⁿ⁺¹＋2；⑶最大值为b₁=0.5.

试题分析：⑴利用等差数列的定义，研究为定值；
⑵由⑴进一步得，利用“错位相减法”求和.
根据S_n=1·2¹＋2·2²＋3·2³＋ ＋(n－1)·2^n－1＋n·2ⁿ
2S_n=1·2²＋2·2³＋3·2³＋ ＋(n－1)·2ⁿ＋n·2ⁿ⁺¹
两式相减得：－S_n=2¹＋2²＋2³＋ ＋2ⁿ－n·2ⁿ⁺¹ =
⑶由 
研究，得到推出{b_n}为递减数列
数列{b_n}中的最大值为b₁.
试题解析：⑴∵
∴
∴为等差数列，首项为，公差d=1           (4分)
⑵由⑴得   ∴                 (6分)
∴S_n=1·2¹＋2·2²＋3·2³＋ ＋(n－1)·2^n－1＋n·2ⁿ
2S_n=1·2²＋2·2³＋3·2³＋ ＋(n－1)·2ⁿ＋n·2ⁿ⁺¹
两式相减得：－S_n=2¹＋2²＋2³＋ ＋2ⁿ－n·2ⁿ⁺¹
=
∴S_n=2－2ⁿ⁺¹＋n·2ⁿ⁺¹=(n－1)·2ⁿ⁺¹＋2        (10分)
⑶ 
∴  ∴(12分)
又∵2(2n²＋n－1)－(2n²＋n)=2n²＋n－2
当n≥1时，2n²＋n－2>0  ∴2(2n²＋n－1)>2n²＋n>0
∴即b_n＋1<b_n
∴{b_n}为递减数列                                    (14分)
数列{b_n}中的最大值为b₁=0.5