Question

已知函数f（x）=x²+|x-1|+a|x+1|在R上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：函数f（x）=x²+|x-1|+a|x+1|在R上有两个不同的零点可化为y=x²+|x-1|与y=-a|x+1|在R上有两个不同的交点，作函数的图象求解．

解答： 解：函数f（x）=x²+|x-1|+a|x+1|在R上有两个不同的零点
可化为y=x²+|x-1|与y=-a|x+1|在R上有两个不同的交点，
作函数y=x²+|x-1|与y=-a|x+1|的图象如下，

结合图象可知，
当直线y=-a（x+1）与y=x²-x+1相切时为一个临界值，
设切点为（x，x²-x+1），则

x2-x+1

x+1

=2x-1；解得，x=

3

-1；
故-a=2

3

-3；故-a＞2

3

-3；
故a＜3-2

3

；
当直线y=a（x+1）与y=x²-x+1相切时为另一个临界值，
设切点为（x，x²-x+1），则

x2-x+1

x+1

=2x-1；解得，x=-

3

-1；
故a＞2（-

3

-1）-1=-3-2

3

；
故-3-2

3

＜a＜3-2

3

故答案为：-3-2

3

＜a＜3-2

3

．

点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．