Question

1．[x]表示不大于x的最大整数，则方程$\frac{1}{2}$[x²+x]=19x+99的实数解x是-$\frac{181}{38}$或$\frac{1587}{38}$．

Answer 1

分析 由题意可得[x²+x]=38x+198，从而可得38x+198≤x²+x＜38x+198+1=38x+199，从而可得41.74≤x₁＜41.75或-4.75＜x₂≤-4.74；再分别讨论即可．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$[x²+x]=19x+99，
∴[x²+x]=38x+198；
∴38x+198≤x²+x＜38x+198+1=38x+199，
解得，41.74≤x₁＜41.75或-4.75＜x₂≤-4.74；
故[x₁]=41，[x₂]=-5，
设x₁=[x₁]+a=41+a，0≤a＜1，
x₂=[x₂]+b=-5+b，0≤b＜1，
1．当x=41+a，0≤a＜1时，
x²+x=41²+82a+41+a²+a=41²+83a+41+a²
[x²+x]=[41²+83a+41+a²]
=41²+41+[83a+a²]=38×41+38a+198，
[83a+a²]=38a+34，
设a=$\frac{m}{38}$，m∈Z，0＜m＜38；
38a+34≤83a+a²＜38a+34+1=38a+35，
34≤a²+45a＜35，
a²+45a-34≥0且a²+45a-35＜0，
则$\frac{-45+\sqrt{2161}}{2}$≤a＜$\frac{-45+\sqrt{2165}}{2}$，
即$\frac{-45+\sqrt{2161}}{2}$≤$\frac{m}{38}$＜$\frac{-45+\sqrt{2165}}{2}$，
故m=29，
x=41+$\frac{29}{38}$=$\frac{1587}{38}$；
2．当x=-5+b，0≤b＜1时，
x²+x=5²-10b+b²-5+b=b²-9b+20，
[x²+x]=[b²-9b+20]=20+[b²-9b]=38×（-5）+38b+198，
[b²-9b]=38b-12，
设b=$\frac{n}{38}$，n∈Z，0＜n＜38，
38b-12≤b²-9b＜38b-12+1=38b-11，
-12≤b²-47b＜-11；
故$\frac{47-\sqrt{2165}}{2}$＜b≤$\frac{47-\sqrt{2161}}{2}$，
即$\frac{47-\sqrt{2165}}{2}$＜$\frac{n}{38}$≤$\frac{47-\sqrt{2161}}{2}$
解得，n=9；
故x=-5+$\frac{9}{38}$=-$\frac{181}{38}$，
综上所述，x=-$\frac{181}{38}$或$\frac{1587}{38}$．
故答案为：-$\frac{181}{38}$或$\frac{1587}{38}$．

点评 本题考查了取整函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，比较困难，属于难题．