Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，令bn=

1

an•an+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式及数列{b_n}的前n项和为T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把等差数列的求和公式代入a_n²=S_2n-1整理后可求得a_n，代入bn=

1

an•an+1

利用裂项法求得T_n．
（2）根据（1）中求得T_n分别表示出T₁，T_m，T_n根据等比中项的性质建立等式，化简整理即可求得m的范围，进而根据m和n均为正整数求得m，进而n

解答：解：（1）因为{a_n}是等差数列，
由

a

2 n

=S2n-1=

(a1+a2n-1)(2n-1)

2

=(2n-1)an，
又因为a_n≠0，所以a_n=2n-1，
由bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（2）由（1）知，Tn=

n

2n+1

，
所以T1=

1

3

，Tm=

m

2m+1

，Tn=

n

2n+1

，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)，
即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．
由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

，
可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

，
所以-2m²+4m+1＞0，
从而：1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此时n=12．
故可知：当且仅当m=2，n=12使数列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比数列．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和实际运算能力．