【题目】某茶楼有四类茶饮,假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间(t),结果如下:
类别 | 铁观音 | 龙井 | 金骏眉 | 大红袍 |
顾客数(人) | 20 | 30 | 40 | 10 |
时间t(分钟/人) | 2 | 3 | 4 | 6 |
注:服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率.
(1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率;
(2)用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
【答案】
(1)解:设Y表示服务员准备工具所需的时间,用P表示概率,得Y的分布列如下;
Y | 2 | 3 | 4 | 6 |
P |
A表示事件“服务员在6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”,则事件A对应两种情形:
①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟,且为第二位所需的时间为3分钟;
②为第一位顾客所需的时间为3分钟,且为第一位顾客准备所需的时间为2分钟;
∴P(A)=P(Y=2)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=2)
= ×
+
×
=
(2)解:X的取值为0、1、2,
X=0时对应为第一位顾客准备所需的时间超过4分钟,
∴P(X=0)=P(Y>4)= ;
X=1对应为第一位顾客所需的时间2分钟且为第二位顾客准备所需的时间超过2分钟,
或为第一位顾客准备所需的时间3分钟或为第一位顾客准备所需的时间4分钟,
∴P(X=1)=P(Y=2)P(Y>2)+P(Y=3)+P( Y=4)
= ×
+
+
=
;
X=2对应准备两位顾客泡茶工具的时间均为2分钟,
∴P(X=2)=P(Y=2)P(Y=2)= ×
=
;
∴X的数学期望是E(X)=0× +1×
+2×
=
【解析】(1)设Y表示服务员准备工具所需的时间,用P表示对应的概率,求出Y的分布列,计算“服务员在第6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”的概率;(2)分析X的可能取值,求出X的分布列与数学期望.
【考点精析】认真审题,首先需要了解离散型随机变量及其分布列(在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列).
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【题目】已知非空集合M满足M{0,1,2,…,n}(n≥2,n∈N+).若存在非负整数k(k≤n),使得当a∈M时,均有2k﹣a∈M,则称集合M具有性质P.设具有性质P的集合M的个数为f(n).
(1)求f(2)的值;
(2)求f(n)的表达式.
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【题目】已知函数f(x)=x3-3mx+n(m>0)的极大值为6,极小值为2.
(1)求实数m,n的值;
(2)求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值.
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【题目】若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N≡n(mod m),例如10≡4(mod 6).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的(中国剩余定理),执行该程序框图,则输出的n等于( )
A.17
B.16
C.15
D.13
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【题目】如图,A,B,C,D四点在同一圆上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.
(1)若 =
,
=1,求
的值;
(2)若EF2=FAFB,证明:EF∥CD.
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【题目】为了了解小学生的体能情况,抽取某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试,将数据整理后,画出频率分布直方图如图所示.已知图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1,0.3,0.4,且第一小组的频数为5.
(1)求第四小组的频率;
(2)求参加这次测试的学生的人数;
(3)若一分钟跳绳次数在75次以上(含75次)为达标,试估计该年级学生跳绳测试的达标率.
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