Question

已知椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点为P（1，0），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）的焦点为F，过F点的直线l交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C₂的切线交于Q点，且Q点在椭圆C₁上，求△ABQ面积的最值，并求出取得最值时的抛物线C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得到b的值，结合通径长为1求得a的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出A，B的坐标及切线AQ的方程y-(x12+h)=k(x-x1)，和抛物线方程联立后由判别式等于0得到切线斜率与A的横坐标的关系，进一步得到AQ的方程，同理得到BQ的方程，联立两切线方程求出Q点的坐标，写出三角形ABQ的面积表达式，结合Q点在椭圆上把面积用含有k的代数式表示，求出使面积取得最值时的k与h值，则△ABQ面积取得最值时的抛物线C₂的方程可求．

解答：解：（I）由题意得

b=1 2• b2 a =1

，解得

a=2 b=1

，
∴所求的椭圆方程为

y2

4

+x2=1；
（II）令A(x1，x12+h)，B(x2，x22+h)，
设切线AQ方程为y-(x12+h)=k(x-x1)，代入y=x²+h，得：x2-kx+kx1-x12=0．
令△=0，可得k=2x₁．
∴抛物线C₂在点A处的切线斜率为k=2x₁．
∴切线AQ方程为：y-(x12+h)=2x1(x-x1)，即y=2x1x-x12+h  ①
同理可得BQ方程为：y=2x2x-x22+h  ②
联立①②解得Q点为(

x1+x2

2

，x1x2+h)．
焦点F坐标为（0，h+

1

4

），令l方程为：y=kx+h+

1

4

，代入C2：y=x2+h，
得：x2-kx-

1

4

=0，由韦达定理有：x1+x2=k，x1x2=-

1

4

．
∴Q点为(

k

2

，h-

1

4

)．
过Q作y轴平行线交AB于M点，则S△ABQ=

1

2

|QM||x1-x2|．
M点为(

k

2

，

k2

2

+h+

1

4

)，
|QM|=

k2+1

2

，|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

．
∴S△ABQ=

1

2

|QM||x1-x2|=

1

4

(

k2+1

)3．
而Q点在椭圆上，∴

(h- 1 4 )2

4

+(

k

2

)2=1，∴k2=4-(h-

1

4

)2∈[0，4]．
∴(S△ABQ)min=

1

4

，此时k=0，h=

9

4

或-

7

4

，
则抛物线方程为：y=x2+

9

4

或y=x2-

7

4

．
(S△ABQ)max=

5 5

4

，此时k2=4，h=

1

4

，
则抛物线方程为：y=x2+

1

4

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是如何把三角形ABQ的面积转化为仅含直线AQ的斜率k的函数关系，考查了学生灵活处理问题的能力和整体计算能力，是高考试卷中的压轴题．