已知函数,
.
(1)若,判断函数
的奇偶性,并加以证明;
(2)若函数在
上是增函数,求实数
的取值范围;
(3)若存在实数使得关于
的方程
有三个不相等的实数根,求实数
的取值范围.
(1)奇函数,(2),(3)
【解析】
试题分析:(1)函数奇偶性的判定,一要判定定义域是否关于原点对称,二要判定与
是否相等或相反,(2)函数
是分段函数,每一段都是二次函数的一部分,因此研究
单调性,必须研究它们的对称轴,从图像可观察得到实数
满足的条件:
,(3)研究方程根的个数,通常从图像上研究,结合(2)可研究出函数
图像.分三种情况研究,一是
上单调增函数,二是先在
上单调增,后在
上单调减,再在
上单调增,三是先在
上单调增,后在
上单调减,再在
上单调增.
试题解析:(1)函数为奇函数.[来
当时,
,
,∴
∴函数为奇函数; 3分
(2),当
时,
的对称轴为:
;
当时,
的对称轴为:
;∴当
时,
在R上是增函数,即
时,函数
在
上是增函数; 7分
(3)方程的解即为方程
的解.
①当时,函数
在
上是增函数,∴关于
的方程
不可能有三个不相等的实数根; 9分
②当时,即
,∴
在
上单调增,在
上单调减,在
上单调增,∴当
时,关于
的方程
有三个不相等的实数根;即
,∵
∴
.
设,∵存在
使得关于
的方程
有三个不相等的实数根, ∴
,又可证
在
上单调增
∴∴
; 12分
③当时,即
,∴
在
上单调增,在
上单调减,在
上单调增,
∴当时,关于
的方程
有三个不相等的实数根;
即,∵
∴
,设
∵存在使得关于
的方程
有三个不相等的实数根,
∴,又可证
在
上单调减∴
∴; 15分
综上:. 16分
考点:函数奇偶性,函数单调性,函数与方程.
科目:高中数学 来源:2016届江苏省高一上学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:填空题
设函数的定义域为
,如果存在正实数
,对于任意
都有
,且
恒成立,则称函数
为
上的“
型增函数”。已知函数
是定义在
上的奇函数,且当
时,
,若
为
上的“
型增函数”,则实数
的取值范围是 .
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